波雷尔测量

在数学中，特别是在测度论中，拓扑空间上的波雷尔测度是定义在所有开集上（因此也定义在所有波雷尔集上）的测度。一些作者要求对测量进行额外的限制，如下所述。

波雷尔测度的正式定义

令 X为局部紧致的豪斯多夫空间，令 B(X)为包含 X 的开集的最小的σ-代数；这被称为 Borel 集的 σ-代数。波雷尔测度是在波雷尔集的 σ 代数上定义的任何测度 𝜇。许多作者还要求𝜇 局部有界，这意味着对于每个紧集C，𝜇(C)<∞。如果 Borel 测度既是内部正则的又是外部正则的，则称为 Borel 正则测度。如果 𝜇既是内部规则的，又是外部规则的，而且是局部有限的，则它被称为 Radon 测度。

关于 Borel 测量的实线

具有通常拓扑的实数线 R是局部紧致的豪斯多夫空间。因此我们可以对其定义一个 Borel 准则。在这种情况下，B(R)是包含开区间 R 的最小 σ-代数。虽然有许多 Borel 测度 μ，但对于每个半开区间 (a,b]分配 𝜇((a,b])=b-a 的 Borel 测度的选择有时被称为“R 中的 Borel 测度”。事实证明，这个测度是 Borel 代数对勒贝格测度 𝜆 的限制，后者是一个完整测度，定义在勒贝格代数 σ 上。勒贝格代数 σ 实际上是 Borel 代数 σ 的完成，这意味着它是包含所有 Borel 集并可配备完整测度的最小 σ-代数。此外，Borel 测度和 Borel 集上的勒贝格测度重合（即，对于每个 Borel 可测集，𝜆(𝐸)=𝜇(𝐸)，其中𝜇是 Borel 测度，如上所述）。这个想法可以扩展到有限维空间 R 𝑛 （Cramér-Wold 定理，见下文），但对于无限维空间，这通常不成立。不存在无量纲的勒贝格测度。

产品空间

设 X 和 Y 是第二可数豪斯多夫拓扑空间，则它们乘积的波雷尔子集 (X×𝑌) 的集合与X 和 Y 的波雷尔子集集合 B(X)×B(𝑌) 的乘积重合。 [3] 即 Borel 函数

B𝑜𝑟:T𝑜P2 西亚哈托斯→马哈斯

它保留了从第二可数豪斯多夫空间类别到可测空间类别的有限乘积。

波雷尔测量的应用

勒贝格-斯蒂尔切斯积分

勒贝格-斯蒂尔切斯积分是关于勒贝格-斯蒂尔切斯测度的普通勒贝格积分，该测度可与实数轴上任何有限变差函数相关。 Lebesgue-Stieltjes 测度是正则 Borel 测度，并且实数轴上任何正则 Borel 测度的逆都是这种类型。

拉普拉斯变换

实数轴上有限 Borel 测度 μ 的拉普拉斯变换可以用勒贝格积分来定义

(𝐿𝜇)(s)= [0,∞)e-sted𝜇(t)。

一个重要的特殊情况是 μ 是一个概率测度，或者更具体地说，是狄拉克 delta 函数。在操作计算中，测量的拉普拉斯变换通常被视为测量来自分布函数 f。在这种情况下，为了避免可能的混淆，人们经常写

(𝐿𝑓)(S)= 0-∞e-seti𝑓(T)dt

下限为 0 – 简写符号

Lim𝜀↓0 -𝜀∞。

这个极限强调了任何位于 0 的点质量都会被拉普拉斯变换完全捕获。虽然在勒贝格积分的情况下不需要考虑这种限制，但它自然地出现在与拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换的联系中。

当前的问题

有限 Borel 测度 μ 在实数轴上的矩可以用积分来定义

米 =水 x d(x)。

对于 (a, b) = (-∞,∞), (0,∞), (0,1)，这些分别对应于汉堡矩问题、斯蒂尔杰斯矩问题和豪斯多夫矩问题。要解决的问题或难题是：给定一组这样的时刻，是否存在合适的策略？对于豪斯多夫矩问题，相应的测度是唯一的。对于其他类型，一般来说，有无数个不同的测量值代表相同的时刻。

然后是哈斯多夫和莱姆·弗罗斯特曼

给定度量空间 X 中的 Borel 测度 μ ，使得 μ ( X ) > 0 且对于某个固定值 s > 0 且对于 X 中的每个球 B ( x , r )，有 μ ( B ( x , r )) ≤ rs。则豪斯多夫暗维数Haus(X)≥s。 Lem Frostman 提供了部分对话：

引理：设 A 是 R n 的一个 Borel 子集，且令 s > 0，则下列等价：

• H s ( A ) > 0，其中 H s 表示 s 维豪斯多夫大小。
• 存在一个（无符号）Borel 测度 μ 满足 μ ( A ) > 0，并且满足

𝜇(b(x,𝑟))≤𝑟q

对于所有 x ∈ R n 和 r > 0，此成立。

克莱默-沃尔德定理

测度论中的克拉默-沃尔德定理指出，博雷尔-德拉克概率测度由其一维投影之和唯一确定。 [7] 它被用作证明联合收敛结果的一种方法。该定理以 Harald Kramer 和 Hermann Ole Andreas Wald 的名字命名。