اندازه گیری بورل

در ریاضیات ، به‌ویژه در نظریه اندازه‌گیری ، اندازه‌گیری بورل در فضای توپولوژیکی ، اندازه‌ای است که بر روی همه مجموعه‌های باز (و بنابراین در همه مجموعه‌های بورل ) تعریف می‌شود. برخی از نویسندگان به محدودیت های اضافی در مورد اندازه گیری نیاز دارند، همانطور که در زیر توضیح داده شده است.

تعریف رسمی اندازه گیری بورل

اجازه دهیدایکسیک فضای فشرده محلی Hausdorff باشد ، و اجازه دهیدب(ایکس)کوچکترین σ-جبر باشد که شامل مجموعه های باز استایکس; این به عنوان σ-جبر مجموعه های بورل شناخته می شود . اندازه گیری بورل هر اندازه گیری است𝜇بر روی σ-جبر مجموعه های بورل تعریف شده است. تعدادی از نویسندگان علاوه بر این نیاز دارند𝜇به صورت محلی محدود است ، به این معنی که𝜇(سی)<∞برای هر مجموعه فشرده سی. اگر یک اندازه گیری بورل𝜇هم منظم درونی و هم منظم بیرونی است که به آن معیار بورل منظم می گویند . اگر𝜇هم منظم درونی، هم منظم بیرونی و هم به صورت محلی متناهی است، به آن اندازه گیری رادون می گویند .

روی خط واقعی اندازه گیری بورل

خط واقعی آربا توپولوژی معمول خود یک فضای فشرده محلی Hausdorff است. از این رو می توانیم یک معیار بورل بر روی آن تعریف کنیم. در این مورد،ب(آر)کوچکترین σ-جبر است که شامل فواصل باز استآر. در حالی که بسیاری از معیارهای بورل μ وجود دارد ، انتخاب اندازه گیری Borel که اختصاص می دهد𝜇((آ،ب])=ب-آبرای هر بازه نیمه باز(آ،ب]گاهی اوقات به نام “برل اندازه گیری در”.آر. معلوم می‌شود که این اندازه‌گیری محدودیتی برای جبر بورل برای اندازه‌گیری Lebesgue است 𝜆، که یک اندازه گیری کامل است و روی جبر Lebesgue σ تعریف شده است. جبر Lebesgue σ در واقع تکمیل جبر Borel σ است، به این معنی که کوچکترین σ-جبر است که شامل تمام مجموعه های Borel است و می تواند به یک اندازه گیری کامل مجهز شود . همچنین، اندازه بورل و اندازه گیری Lebesgue در مجموعه های بورل منطبق هستند (یعنی𝜆(𝐸)=𝜇(𝐸)برای هر مجموعه قابل اندازه گیری Borel، که در آن𝜇اندازه گیری بورل است که در بالا توضیح داده شد). این ایده به فضاهای با ابعاد محدود گسترش می یابدآر𝑛( قضیه Cramér-Wold ، در زیر) اما به طور کلی برای فضاهای بینهایت بعدی صادق نیست. اندازه‌های بی‌بعدی Lebesgue وجود ندارد.

فضاهای محصول

اگر X و Y قابل شمارش دوم باشند ، فضاهای توپولوژیکی هاسدورف ، مجموعه زیر مجموعه های بورلب(ایکس×𝑌)محصول آنها با حاصلضرب مجموعه ها منطبق استب(ایکس)×ب(𝑌)از زیر مجموعه های بورل X و Y . [3] یعنی تابع بورل

ب𝑜𝑟:تی𝑜پ2سیاچآتوس→مهآس

از دسته فضاهای هاسدورف قابل شمارش دوم تا دسته فضاهای قابل اندازه گیری محصولات محدود را حفظ می کند .

کاربرد اندازه گیری بورل

انتگرال Lebesgue–Stieltjes

انتگرال Lebesgue –Stieltjes انتگرال Lebesgue معمولی با توجه به اندازه گیری معروف به اندازه Lebesgue–Stieltjes است که ممکن است به هر تابعی از تغییرات محدود در خط واقعی مرتبط باشد. اندازه گیری Lebesgue-Stieltjes یک معیار بورل معمولی است ، و برعکس هر اندازه گیری بورل منظم روی خط واقعی از این نوع است.

تبدیل لاپلاس

می توان تبدیل لاپلاس یک اندازه بورل محدود μ را روی خط واقعی توسط انتگرال لبگ تعریف کرد

(𝐿𝜇)(س)=🔻[0،∞)ه-ستید𝜇(تی).

یک مورد خاص مهم جایی است که μ یک اندازه گیری احتمال یا به طور خاص تر، تابع دلتای دیراک است. در محاسبات عملیاتی ، تبدیل لاپلاس یک اندازه گیری اغلب به گونه ای تلقی می شود که گویی اندازه گیری از تابع توزیع f آمده است . در این صورت، برای جلوگیری از سردرگمی احتمالی، شخص اغلب می نویسد

(𝐿𝑓)(س)=🔻0-∞ه-ستی𝑓(تی)دتی

که در آن حد پایین 0 − نماد مختصر است

لیم𝜀↓0🔻-𝜀∞.

این حد تأکید می کند که هر جرم نقطه ای که در 0 قرار دارد، به طور کامل توسط تبدیل لاپلاس گرفته می شود. اگرچه در مورد انتگرال Lebesgue ، لازم نیست چنین محدودیتی در نظر گرفته شود، اما به طور طبیعی در ارتباط با تبدیل لاپلاس-Stieltjes ظاهر می شود .

مشکل لحظه

می توان گشتاورهای یک اندازه بورل محدود μ را روی خط واقعی توسط انتگرال تعریف کرد

متر𝑛=🔻آبایکس𝑛د𝜇(ایکس).

برای(آ،ب)=(-∞،∞)،(0،∞)،(0،1)اینها به ترتیب با مسئله گشتاور هامبرگر ، مسئله گشتاور Stieltjes و مسئله گشتاور Hausdorff مطابقت دارند . سوال یا مشکلی که باید حل شود این است که با توجه به مجموعه ای از چنین لحظاتی، آیا تدبیر مناسبی وجود دارد؟ برای مسئله لحظه هاوسدورف، اندازه گیری مربوطه منحصر به فرد است. برای انواع دیگر، به طور کلی، تعداد نامتناهی اندازه گیری متمایز وجود دارد که لحظات یکسانی را نشان می دهد.

بعد هاسدورف و لم فراستمن

با توجه به یک اندازه بورل μ در فضای متریک X به طوری که μ ( X ) > 0 و μ ( B ( x , r )) ≤ r s برای مقداری ثابت s > 0 و برای هر توپ B ( x , r ) در X صادق است. سپس بعد Hausdorff کم نور Haus ( X ) ≥ s . یک مکالمه جزئی توسط لم فراستمن ارائه شده است :

لم: فرض کنید A یک زیرمجموعه بورل از R n باشد ، و بگذارید s  > 0 باشد. سپس موارد زیر معادل هستند:

• H s ( A ) > 0، که در آن H s نشان دهنده اندازه s – بعدی Hausdorff است .
• یک اندازه گیری بورل (بدون علامت) μ وجود دارد که μ ( A ) > 0 را برآورده می کند ، و به گونه ای که

𝜇(ب(ایکس،𝑟))≤𝑟س

برای همه x  ∈  R n و r  > 0 صادق است.

قضیه کرامر-ولد

قضیه Cramér -Wold در نظریه اندازه گیری بیان می کند که یک اندازه گیری احتمال بورل درآرکبه طور منحصر به فردی توسط مجموع پیش بینی های یک بعدی آن تعیین می شود. [7] به عنوان روشی برای اثبات نتایج همگرایی مشترک استفاده می شود. این قضیه به نام هارالد کرامر و هرمان اوله آندریاس ولد نامگذاری شده است .