حساب حجم أسطوانة المعايرة

حجم الأسطوانة هو سعتها، وهو ما يُحسب كمية المادة التي تستوعبها. في الهندسة، توجد صيغة محددة لحساب حجم الأسطوانة التي يُمكن غمر أي كمية فيها، سواءً كانت سائلة أو صلبة، بشكل موحد لأغراض القياس. أسطوانة المعايرة هي شكل ثلاثي الأبعاد ذو قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين. تتوفر الأسطوانات بأنواع مختلفة، وهي:

• الأسطوانة الدائرية القائمة: أسطوانة معايرة قواعدها دوائر وأي قطعة مستقيمة من الخط تشكل جزءًا من السطح الجانبي المنحني تكون عمودية على القواعد.
• الأسطوانة المائلة: أسطوانة تكون جوانبها منحنية عند القاعدة بزاوية لا تساوي الزاوية القائمة.
• الأسطوانة الإهليلجية: أسطوانة قاعدتها قطع ناقصة.
• الأسطوانة المجوفة الدائرية المستقيمة: هي أسطوانة مكونة من أسطوانتين معايرة دائريتين مستقيمتين محصورتين إحداهما داخل الأخرى.

صيغة إيجاد حجم الأسطوانة هي V = πr²h. لنتعرف أكثر على هذه الصيغة في الأقسام التالية.

حجم الأسطوانة هو عدد مكعبات الوحدة (مكعبات طولها وحدة) التي يمكن أن تتسع داخلها. يُقاس الحيز الذي تشغله الأسطوانة بالوحدات المكعبة، لأن حجم أي شكل ثلاثي الأبعاد هو الحيز الذي يشغله. يُقاس حجم الأسطوانة بالوحدات المكعبة، مثل السنتيمتر المكعب، والمتر المكعب، والقدم المكعب، إلخ. لنلقِ نظرة على الصيغة المستخدمة لحساب حجم الأسطوانة.

تعريف الاسطوانة

الأسطوانة جسم ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدتين متوازيتين متصلتين بسطح منحني. هاتان القاعدتان عبارة عن أقراص دائرية. يُسمى الخط المار بمركز القاعدتين الدائريتين أو الواصل بينهما محور أسطوانة المعايرة.

نعلم أن الأسطوانة تشبه المنشور (لكن تجدر الإشارة إلى أن الأسطوانة المُعايرة ليست منشورًا لأن لها وجهًا جانبيًا منحنيًا). نستخدم الصيغة نفسها لحساب حجم المنشور لحساب حجم الأسطوانة. نعلم أن حجم المنشور يُحسب باستخدام الصيغة التالية:

V = A × h، حيث

• أ = مساحة القاعدة
• ح = الارتفاع

باستخدام هذه الصيغة، تكون صيغة حجم الأسطوانة هي:

• صيغة حجم الأسطوانة الدائرية القائمة هي V = πr²h (r = نصف القطر، h = الارتفاع).
• صيغة حجم الأسطوانة المعايرة قطريًا هي V = πr 2 h (r = نصف القطر، h = الارتفاع).
• صيغة حجم الأسطوانة الإهليلجية هي V = πbh (a و b = نصف القطر، h = الارتفاع).
• صيغة حجم الأسطوانة المجوفة الدائرية القائمة هي V = π(R 2 – r 2 )h (R = نصف القطر الخارجي، r = نصف القطر الداخلي، h = الارتفاع).

الآن نستخدم الصيغة V = A × h لحساب حجم عدة أسطوانات.

صيغة حجم الأسطوانة الدائرية القائمة

نعلم أن قاعدة أسطوانة دائرية قائمة هي دائرة، ومساحة دائرة نصف قطرها r هي πr². وبالتالي، فإن حجم الأسطوانة الدائرية القائمة (V) باستخدام الصيغة أعلاه (V = A × h) يساوي:

V = πr 2 ساعة

هنا،

• ‘r’ هو نصف قطر القاعدة (الدائرة) لأسطوانة المعايرة
• ‘h’ هو ارتفاع الاسطوانة
• π هو ثابت قيمته 22/7 (أو) 3.142.

لذا، يتناسب حجم الأسطوانة طرديًا مع ارتفاعها ومع مربع نصف قطرها. أي أنه إذا تضاعف نصف قطر الأسطوانة، تضاعف حجمها أربع مرات.

صيغة إيجاد حجم الأسطوانة القطرية

صيغة حساب حجم الأسطوانة القطرية هي نفسها صيغة حساب حجم الأسطوانة الدائرية القائمة. وبالتالي، فإن حجم الأسطوانة القطرية (V) التي يبلغ نصف قطر قاعدتها ry وارتفاعها h هو:

V = πr 2 ساعة

صيغة حساب حجم الأسطوانة الإهليلجية

نعلم أن القطع الناقص له نصفا قطر. كما نعلم أن مساحة القطع الناقص الذي نصف قطره ‘a’ و’b’ تساوي πb. وبالتالي، فإن حجم الأسطوانة الإهليلجية يساوي

V = πbh

هنا،

• ‘a’ و ‘b’ هما نصف قطر القاعدة (القطع الناقص) للأسطوانة.
• ‘h’ هو ارتفاع الاسطوانة.
• π هو ثابت قيمته 22/7 (أو) 3.142.

صيغة حجم الأسطوانة المجوفة الدائرية القائمة

بما أن أسطوانة المعايرة الدائرية المجوفة القائمة تتكون من أسطوانتين دائريتين قائمتين متداخلتين، فإن حجمها يُحسب بطرح حجم أسطوانة المعايرة الداخلية من حجم الأسطوانة الخارجية. وبالتالي، فإن حجم الأسطوانة الدائرية المجوفة القائمة يساوي

V = π(R2 – r2)h

هنا،

• ‘R’ هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة الخارجية.
• ‘r’ هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة الداخلية.
• ‘h’ هو ارتفاع الاسطوانة.
• π هو ثابت قيمته 22/7 (أو) 3.142.

هذه هي الخطوات للعثور على حجم الأسطوانة:

• حدد نصف القطر “r” والارتفاع “h” وتأكد من أن كلاهما في نفس الوحدة.
• استبدل القيم في صيغة الحجم V = πr²h.
• اكتب الوحدات بالوحدات المكعبة.

مثال: أوجد حجم أسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها ٥٠ سم وارتفاعها متر واحد. استخدم π = ٣٫١٤٢.

حل:

نصف قطر الأسطوانة هو r = 50 سم.

ارتفاعه هو ح = 1 متر = 100 سنتيمتر.

حجمها هو V = πr 2 h = (3.142)(50) 2 (100) = 785500 سم 3 .

ملاحظة: لإيجاد حجم أسطوانة بناءً على نوعها، كما ذكرنا في القسم السابق، نستخدم الصيغة التالية. لنفترض أيضًا أن الأسطوانة دائرية قائمة إذا لم يكن لها نوع محدد، ونطبق الصيغة التالية لحجم الأسطوانة: V = πr²h.

نقاط مهمة حول حجم الاسطوانة:

• يتم حساب حجم الأسطوانة باستخدام الصيغة V = πr 2 h، حيث r هو نصف قطر قاعدتها الدائرية و’h’ هي المسافة الرأسية (الارتفاع) بين مركزي القاعدتين.
• إذا تم إعطاء القطر (d)، ابحث عن نصف القطر (r) باستخدام r = d/2 ثم قم بالتعويض في الصيغة أعلاه للعثور على حجم الأسطوانة.